La inversión en GF(2⁸) es la operación principal de la operación de sustitución de bytes, que contiene la caja S de AES. Para un campo finito dado GF(2^m) y el correspondiente polinomio de reducción irreducible P(x), la inversa A^-1 de un elemento no nulo A ∈ GF(2^m) se define como:

A^-1(x)·A(x) = 1 mod P(x)

La tabla siguiente contiene todos los inversos en GF(2⁸) módulo P(x) = x⁸ + x⁴ + x³ + x + 1 en notación hexadecimal. Un caso especial es la entrada para el elemento de campo 0, para el que no existe una inversa. Sin embargo, para la S-Box del AES, se necesita una tabla de sustitución que se define para cada posible valor de entrada. Por lo tanto, los diseñadores definieron el S-Box de tal manera que el valor de entrada 0 se asigna al valor de salida 0.

Tablas de los inversos en GF(2⁸)

Por ejemplo:

A partir de la tabla anterior, el inverso de x⁷ + x⁶ + x = (11000010)₂ = (C2)_hex = (xy)

Está dado por el elemento en la fila C, columna 2:

(2F)_hex = (00101111)₂ = x⁵ + x³ + x² + x + 1.

Esto se puede verificar mediante la multiplicación:

(x⁷ + x⁶ + x) · (x⁵ + x³ + x² + x + 1) ≡ 1 mod P(x).

Referencias

1. Christof Paar, Jan Pelzl. (2010). Understanding Cryptography. Berlin Heidelberg: Springer.