En aritmética modular el inverso multiplicativo se define de la siguiente manera.

Sea a ∈ Z

El inverso multiplicativo existe solo para algunos, pero no para todos, elementos.

Un elemento a ∈ Z tiene un inverso multiplicativo a^-1 si y solo si mcd(a , m) = 1, donde mcd es el máximo común divisor, es decir, el entero más grande que divide ambos números a y m. El hecho de que dos números tengan un mcd de 1 es de gran importancia y hay un nombre especial para eso: si mcd(a , m) = 1, entonces a y m se dice que son primos relativos o coprimos.

Por ejemplo:

Veamos si el inverso multiplicativo de 14 existe en Z₂₇.

Porque

mcd(14 , 27) = 1

el inverso debe existir. Por otro lado,

mcd(15 , 27) = 3

el inverso multiplicativo de 15 no existe en Z₁₇.

Encontrar un inverso multiplicativo

Lo primero que se hace es aplicar el algoritmo de Euclides para verificar que mcd(n , m) = 1 donde n es el número del que queremos obtener su inverso multiplicativo y m es el número de elementos del conjunto (alfabeto) con el que estemos trabajando.

Ejemplo: Vamos a calcular el inverso de 7 y consideremos que estamos trabajando con el alfabeto español que tiene 27 letras, entonces n = 8 y m = 27.

Usando el Algoritmo de Euclides se calcula el máximo común divisor:

1. 27 = 3*8 + 3.
2. 8 = 2*3 + 2.
3. 3 = 1*2 + 1.
4. 2 = 2*1 + 0.

Utilizando los pasos del Algoritmo de Euclides se procede a calcular el inverso

5. Del paso 3 se despeja el residuo, 1 = 3 - 1*2.
6. Del paso 2 se despeja el residuo 2 = 8 - 2*3 y si esto lo sustituimos en la ecuación del paso 5 tenemos:
   1 = 3 - 1*(8 - 2*3) = 3 - 1*8 + 2*3 = -1*8 + 3*3.
7. Del paso 1 se despeja el residuo 3 = 27 - 3*8 y si esto lo sustituimos en la ecuación del paso 6 nos queda:
   1 = -1*8 + 3*(27 - 3*8) = -1*8 + 3*27 - 9*8 = 3*27 - 10*8.

El número que multiplica a 8 es el inverso multiplicativo, pero como es negativo se debe calcular su inverso aditivo.

27 - 10 = 17

El inverso multiplicativo de 8 en Z₂₇ es 17, demostración: 8*17 = 136 ≡ 1 mod 27.

En el algoritmo anterior los resultados es importante simplificarlos lo más posible y tratar de dejarlos en términos del número del que buscamos el inverso, n, así como de m.

Una alternativa, aunque poco práctica, es ir multiplicando el número del que queremos saber su inverso por otro número y aplicar al resultado la operación módulo, para el ejemplo anterior mod 27, hasta que obtengamos un 1:

8*0 ≡ 0 mod 27
8*1 ≡ 8 mod 27
8*2 ≡ 16 mod 27
8*3 ≡ 24 mod 27
.
.
.
8*17 ≡ 1 mod 27

---

Referencias

1. Christof Paar, Jan Pelzl. (2010). Understanding Cryptography. Berlin Heidelberg: Springer.
2. Douglas Stinson. (1995). Cryptography: Theory and Practice. United States: CRC Press.