La suma de puntos se define como R = P + Q donde P != O (punto al infinito). El doblado de puntos se define como R = P + P = 2P, de lo anterior podemos ver que el doblado de puntos sería simplemente una serie de suma de puntos. Por lo tanto existen 2 fórmulas para llevar a cabo estas operaciones.

Para sumar 2 puntos diferentes:

Para sumar 2 puntos iguales:

Ejemplo

Trabajando en el campo pequeño Z₂₃

1. Sea P = (4,7) y Q = (13, 11), obtener P + Q = (x₃ , y₃):

   x₃ = (11 - 7/13 - 4)² - 4 - 13
   x₃ = (4/9)² - 17
   x₃ = (9^-1*4)² - 17
   x₃ = (18*4)² - 17
   x₃ = 72² - 17
   x₃ = 5184 - 17
   x₃ = 5167 mod 23
   x₃ = 15
   
   y₃ = 72(4 - 15) - 7
   y₃ = 72*(-11) - 7
   y₃ = -792 - 7
   y₃ = -799 mod 23
   y₃ = -17 mod 23
   y₃ = 6
   
   

   Por lo tanto P+Q= (15,6).

2. Sea P = (4,7), obtener 2P = P + P = (x₃ , y₃):

   x₃ = ((3(4)² + 1)/14)² - 8
   x₃ = (14^-1*49)² - 8
   x₃ = (5*49)² - 8
   x₃ = 245² - 8
   x₃ = 60025 - 8
   x₃ = 60017 mod 23
   x₃ = 10
   
   y₃ = 245(4 - 10) - 7
   y₃ = 245*(-6) - 7
   y₃ = -1470 - 7
   y₃ = -1477 mod 23
   y₃ = -5 mod 23
   y₃ = 18
   

   Por lo tanto 2P= (10, 18).

Referencias

1. Christof Paar, Jan Pelzl. (2010). Understanding Cryptography. Berlin Heidelberg: Springer.